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∫x/(1+Cos²x)Dx

∫xcos(1/x)dx=½ ∫2xcos(1/x)dx=½ x²cos(1/x)-½ ∫sin(1/x)dx 令u=1/x,则du=-xˉ²dx=-1/x²dx ,则dx=-xˉ²du=-1/u²du ∫sin1/xdx=∫sinu(-1/u²)du=∫sinud(1/u) 用分部积分法: ∫sin1/xdx=∫sinu(-1/u²...

cos2x=2cos^2x-1 所以 1+cos2x=2cos²x

cos2x=cos²x-sin²x=2cos²x-1=1-2sin²x 所以1-cos2x=1-(1-2sin²x)=2sin²x 原式=∫x/2sin²x dx =1/2*∫x/sin²xdx =1/2*∫xcsc²xdx =-1/2*∫xdcotx =-1/2*xcotx+1/2*∫cotxdx =-1/2xcotx+1/2∫cosx/sinxdx ...

显然d(1/x)= -1/x² dx 所以得到 原积分 =∫ (1/x²) *cos(1/x) dx =∫ -cos(1/x) d(1/x) = -sin(1/x) +C,C为常数

∫1/(1+cos2x)dx =∫1/(1+2cos²x -1)dx =∫1/2cos²x dx =(1/2)∫sec ²xdx =(1/2)tanx +C

无初等

本题需先证明一个结论,这个在同济大学高等数学教材里定积的换元法部分有这个例子。里面的第二个结论是我们要用的。 有了这个结论本题就十分简单了,下面是过程。

原式=∫1/(1+3cos²x)dx =∫(sin²x+cos²x)/(1+3cos²x)dx =∫(tan²x+1)/(sec²x+3)dx(上下同时除以cos²x) =∫sec²x/(sec²x+3)dx =∫sec²x/(tan²x+4)dx =∫1/(tan²x...

∫xcos²xdx=∫x(1+cos2x)/2dx=1/2(∫xdx+∫xcos2xdx) =1/2(1/2x²+∫xcos2xdx) =1/2(1/2x²+1/2∫xdsin2x) =1/2(1/2x²+1/2(xsin2x-∫sin2xdx)) =1/2(1/2x²+1/2xsin2x+1/4cos2x)+C

见图

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