www.ctrt.net > 若A为正交矩阵,求证(A*)'=(A*)^%1

若A为正交矩阵,求证(A*)'=(A*)^%1

A是正交矩阵 AA' = E A'=A^-1 由 AA'=E 得 (AA')* = E* 所以 (A')*A* = E 所以 (A*)'A* = E 即 A* 也是正交矩阵 所以 (A*)' = (A*)^-1

此为正交阵的定义

因为A为正交矩阵 所以 AA^T=E 两边取行列式得 |AA^T| = |E| 即有 |A||A^T| = 1 所以 |A|^2=1 所以 |A|=1 或 -1.

一个正交矩阵取逆,或者转置还是正交矩阵; 两个正交矩阵相乘还是正交矩阵;因为AB*(AB)^t=AB*B^t*A^t=I; 那么这个结论就是1,2的联合应用结果。

这种证明是验证性证明,数学里最最最简单的了。如果这还要问我看不用学数学了

A为正交矩阵,则A可逆,且A^-1=A^T

(1)因为A是一个n阶正交矩阵 所以AA'=E 所以|A+E|=|A(E+A')|=|A||A'+E|=|A||A+E|=-|A+E| 则|A+E|=-|A+E|=0 (2)同理|A-E|=|A(E-A')|=|A||E-A'|=|A||E-A|=|E-A|=(-1)^n|A-E| 又因为n为奇数 所以(-1)^n=-1 即|A-E|=-|A-E|=0

实际上A^TA的每个元素就是A的列向量Ai,与A的列向量Aj的内积 显然i=j时,Ai⋅Aj=Ai⋅Ai=1(因为Ai是单位向量) i≠j时,Ai⋅Aj=0(因为正交) 因此A^T·A中,只有主对角线元素都是1,其余都是0,从而是单位矩阵 从而A是正交矩阵

[(A+B)(A-B)^(-1)] ^T [(A+B)(A-B)^(-1)] =[(A-B)^(-1)]^T(A+B)^T[(A+B)(A-B)^(-1)] =[(A-B)^T]^(-1)(A+B)^T[(A+B)(A-B)^(-1)] =(A^T-B^T)^(-1)(A^T+B^T)[(A+B)(A-B)^(-1)] =(A+B)^(-1)(A-B)(A+B)(A-B)^(-1) =(A+B)^(-1)(A...

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