www.ctrt.net > 设A为一个正交矩阵,证明若λ为A的一个特征值,则|λ|=1

设A为一个正交矩阵,证明若λ为A的一个特征值,则|λ|=1

A为正交阵,即A^T A=E,设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

|λE-A|=|(λE-A)^T|= |λE-A^(-1)|= |A^(-1)(λA-E)|= |A^(-1)||1/λE-A|*λ^n,

x为特征值 Aa=xa A*Aa=xA*a |A|a=xA*a A*a=(|A|/x)a 即A*的特征值与A特征值的关系为λ(A*)=|A|/λ Aa=xa AAa=xAa A^2a=x(xa)=x^2a A^2的特征值与A特征值关系λ(A^2)=X^2 λ【(A*)^2+E】=(|A|^2/x^2)+1

Aα=λα.两边同乘A^-1 α=λ(A^-1)α 即(A^-1)α=(1/λ)α 则A的逆的特征值为1/λ

∵A为n阶可逆矩阵,λ是A的特征值,∴A的行列式值不为0,且Ax=λx?A*(Ax)=A*(λx)?|A|x=λ(A*x)?A*x=.A.λX,故选:B.

题目不完整

A*=|A|A^-1 因此其特征值之一是 |A|/λ

1、设A对应于特征值0的特征向量是x,则Ax=0,所以BAx=0,所以0也是BA的特征值,对应的特征向量还是x。 2、A的转置A'的每一行的元素之和等于δ,所以A'x=δx,x=(1,1,...,1)'。所以δ是A'的特征值,所以|A'-δE|=0,转置后是|A-δE|=0,所以δ是A的特征...

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