www.ctrt.net > 设A为一个正交矩阵,证明若λ为A的一个特征值,则|λ|=1

设A为一个正交矩阵,证明若λ为A的一个特征值,则|λ|=1

A为正交阵,即A^T A=E,设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

设λ是正交矩阵A的特征值, x是A的属于特征值λ的特征向量 即有 Ax = λx, 且 x≠0. 两边取转置, 得 x^TA^T = λx^T 所以 x^TA^TAX = λ^2x^Tx 因为A是正交矩阵, 所以 A^TA=E 所以 x^Tx = λ^2x^Tx 由 x≠0 知 x^Tx 是一个非零的数 故 λ^2=1 所以 λ=1或-1.

证明: 设λ是A的特征值 则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理) 而零矩阵的特征值只能是0 所以 λ^2-1=0 所以 λ=1 或 -1.

证: 设A是正交矩阵, λ是A的特征值, α是A的属于λ的特征向量 则 A^TA = E (E单位矩阵), Aα=λα, α≠0 考虑向量λα与λα的内积. 一方面, (λα,λα)=λ^2(α,α). 另一方面, (λα,λα) = (Aα,Aα) = (Aα)^T(Aα) = α^TA^TAα = α^Tα = (α,α). 所以有 λ^2(α,α) = (α...

正交矩阵的特征值只能是1或者-1; 矩阵A的行列式值|A|是A的特征值的乘积。 根据以上两点正交矩阵的特征值的乘积是-1,所以不能全部都是1,从而-1是A的特征值。

|A-λE|=(8-λ)(2-λ)^2; A的特征值为2,2,8; (A-2E)x=0的正交的基础解系为 a1=(1,-1,0)^T,a2=(1,1,-2)^T; 所以属于特征值2的全部特征值为 k1a1+k2a2, k1,k2是不全为零的任意常数。 (A-8E)x=0的基础解系为 a3=(1,1,1)^T; 所以属于特征值8的全部...

这应该是个定理吧,因为它是正交矩阵

设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

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