www.ctrt.net > 设A为正交阵,且〔A〕=%1,证明B=%1是A的特征值

设A为正交阵,且〔A〕=%1,证明B=%1是A的特征值

A为正交阵,即A^T A=E,设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

因为A,B,A+B为正交矩阵,所以:(A+B)T=(A+B)-1,AT=A-1,BT=B-1所以有:(A+B)-1=(A+B)T=AT+BT=A-1+B-1.故得证.

设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

正交矩阵的特征值只能是1或者-1; 矩阵A的行列式值|A|是A的特征值的乘积。 根据以上两点正交矩阵的特征值的乘积是-1,所以不能全部都是1,从而-1是A的特征值。

既然系正交矩阵,那么特征值的模显然都是1啦。 并且实矩阵的特征值是一对对共轭虚数或者正负1; 既然系奇数阶的,那么肯定有一个特征值是单个的,既然系detA=-1,说明必然有一个特征值是-1。 所以A至少有一个特征值是-1,其他的特征值可能含有:...

A是正交矩阵 那么A*A‘=E |-E-A|=|E+A|=|A*A'+A*E|=|A*(A'+E)|=|A|*|A'+E|=-|A'+E| 而|E+A|=|E'+A|是很容易证的 所以|E+A|=0 即-1是A的特征值

带入验证。因为det(I-A)=det((A(AT))-A)=det(A(AT-I))=det(AT-I)=det(A-I)=-det(I-A)(说明AT表示A的转置),所以det(I-A)=0,所以1是特征值。因为正交矩阵一定是实矩阵(定义),所以其特征值只能是实数。

证明: 设λ是A的特征值 则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理) 而零矩阵的特征值只能是0 所以 λ^2-1=0 所以 λ=1 或 -1.

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