www.ctrt.net > 设A为正交阵,且〔A〕=%1,证明B=%1是A的特征值

设A为正交阵,且〔A〕=%1,证明B=%1是A的特征值

A为正交阵,即A^T A=E,设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

正交矩阵的特征值只能是1或者-1; 矩阵A的行列式值|A|是A的特征值的乘积。 根据以上两点正交矩阵的特征值的乘积是-1,所以不能全部都是1,从而-1是A的特征值。

就这样,

A是正交矩阵 那么A*A‘=E |-E-A|=|E+A|=|A*A'+A*E|=|A*(A'+E)|=|A|*|A'+E|=-|A'+E| 而|E+A|=|E'+A|是很容易证的 所以|E+A|=0 即-1是A的特征值

设A的转置为A' 有 | E + A | = | A'A + A | = |A|| A' +E| =-| (A + E)' | =-| E + A | 所以 | E + A | = 0 就是说 | A - (-E)| =0 这就说明-1是他的一个特征根

带入验证。因为det(I-A)=det((A(AT))-A)=det(A(AT-I))=det(AT-I)=det(A-I)=-det(I-A)(说明AT表示A的转置),所以det(I-A)=0,所以1是特征值。因为正交矩阵一定是实矩阵(定义),所以其特征值只能是实数。

既然系正交矩阵,那么特征值的模显然都是1啦。 并且实矩阵的特征值是一对对共轭虚数或者正负1; 既然系奇数阶的,那么肯定有一个特征值是单个的,既然系detA=-1,说明必然有一个特征值是-1。 所以A至少有一个特征值是-1,其他的特征值可能含有:...

(1)证明:A²+A=0,A(A+E)=0,若r(A+E)=n,等式两端右乘(A+E)-1,得A=0,与已知A为n阶非零矩阵矛盾。所以r(A+E)<n,即|A+E|=0,那么根据特征方程|λE-A|=0知,-1必是A的特征值。 同理 -1必是B的特征值。 【评注】 本题是利用秩来解答...

条件不足以证明-1是A的特征值, 比如A是单位阵时,-1并不是A的特征值 一般来讲,实正交阵A的特征值一定为±1 记a是A的特征值,x≠0为其相对应的特征向量 则Ax=ax,同时转置得 x'A'=ax' ∴x'A'Ax=ax'(ax)=a²x'x,而A'A=I 即x'x=a²x'x,∴(a...

这定理由几个定理叠加而得 看看你用的教材, 有些定理是不必证明的(有些涉及不易接受的结论)

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