www.ctrt.net > 试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩...

试证明:设A为n阶实对称矩阵,且A^2=A,则存在正交矩...

证明: A为实对称矩阵,则币可以对角化, 令Aa=xa则 A^2=A x^2a^2=xa x(x-1)a=0 a≠0,x=0,1 则A矩阵的特征值只能为0,1 所以r(A)=r(Λ)=特征值非0的个数 所以必存在可逆矩阵T使得 T^(-1)AT=diag(Er,0)

A是对称阵,所以A=A^T, 又因为A是正交矩阵,所以 A*A^T=E, 所以,A^2=E

证明: A为实对称矩阵,则币可以对角化, 令Aa=xa则 A^2=A x^2a^2=xa x(x-1)a=0 a≠0,x=0,1 则A矩阵的特征值只能为0,1 所以r(A)=r(Λ)=特征值非0的个数 所以必存在可逆矩阵T使得 T^(-1)AT=diag(Er,0)

由于A是对称矩阵,因此存在正交矩阵T使得T^(-1)AT为对角矩阵,其中对角线上的元素为A的所有特征值,因此只要证A的特征值只有0和1即可 由于 A^2=A,所以A的特征是0或1,证毕

首先实对称矩阵A,一定存在正交矩阵T,使得T^(-1)AT为对角阵,这是关于实对称矩阵的重要定理,证明书上都有.设B为对角阵,则B=T^(-1)AT,从而A=TBT^(-1),由A^2=A,得TBT^(-1)TBT^(-1)=TBT^(-1),即B^2=B,由于B为对角阵,因此可设B=diag{b1,b2,bn},则B^2=d...

因为A-2E也是对称阵,可直接验证:(A-2E)(A-2E)^T=(A-2E)(A-2E)=A^2-4A+4E=(A^2-4A+3E)+E=0+E=E,所以A-2E是正交阵。

这是内积 (α,β)=α乘β^T,即α,β的各个分量分别相乘后,相加。 书中是对的

实对称矩阵一定可以正交相似对角化.且A的特征值必为1或者0,由此结论显然

(α,β)=β^Tα, (Aα,Aβ)=β^TA^TAα 显然当A是正交阵的时候(Aα,Aβ)=(α,β) 反过来, 令M=A^TA, M是一个对称阵 取α=β=e_i得到M(i,i)=1, 这里e_i是单位阵的第i列 对于i≠j, 取α=e_i, β=e_j, 得到M(i,j)=0所以M=I

证明: 设λ是A的特征值 则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理) 而零矩阵的特征值只能是0 所以 λ^2-1=0 所以 λ=1 或 -1.

网站地图

All rights reserved Powered by www.ctrt.net

copyright ©right 2010-2021。
www.ctrt.net内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com